Törtek összehasonlítása közös nevezőre vezetés nélkül. A közönséges törtek összehasonlítása. Számok összehasonlítása. átlagos szint

Két egyenlőtlen törtet további összehasonlításnak vetünk alá, hogy megtudjuk, melyik a nagyobb és melyik a kisebb. Két tört összehasonlításához létezik egy szabály a törtek összehasonlítására, amelyet az alábbiakban fogunk megfogalmazni, és példákat is elemezünk ennek a szabálynak az alkalmazására, amikor az azonos és különböző nevezők. Befejezésül bemutatjuk, hogyan lehet összehasonlítani az azonos számlálókkal rendelkező törteket anélkül, hogy közös nevezőre redukálnánk őket, és azt is megnézzük, hogyan lehet összehasonlítani egy közös törtet természetes számmal.

Oldalnavigáció.

Azonos nevezőjű törtek összehasonlítása

Azonos nevezőjű törtek összehasonlítása lényegében az azonos részvények számának összehasonlítása. Például a 3/7 közönséges tört 3 részt 1/7-et határoz meg, a 8/7 tört pedig 8 rész 1/7-nek felel meg, tehát az azonos nevezőjű törtek 3/7 és 8/7 összehasonlítása a számok összehasonlítását jelenti. 3 és 8, vagyis a számlálók összehasonlításához.

Ezekből a megfontolásokból az következik szabály a hasonló nevezőkkel rendelkező törtek összehasonlítására: két azonos nevezővel rendelkező tört közül a nagyobb a tört, amelynek a számlálója nagyobb, és a kisebb az a tört, amelynek a számlálója kisebb.

A megadott szabály elmagyarázza, hogyan kell összehasonlítani az azonos nevezővel rendelkező törteket. Nézzünk egy példát a hasonló nevezőkkel rendelkező törtek összehasonlítására vonatkozó szabály alkalmazására.

Példa.

Melyik tört nagyobb: 65/126 vagy 87/126?

Megoldás.

Az összehasonlított közönséges törtek nevezői egyenlőek, és a 87/126 tört 87 számlálója nagyobb, mint a 65/126 tört 65 számlálója (szükség esetén lásd a természetes számok összehasonlítását). Ezért az azonos nevezőjű törtek összehasonlítására vonatkozó szabály szerint a 87/126 tört nagyobb, mint a 65/126.

Válasz:

Különböző nevezőjű törtek összehasonlítása

Különböző nevezőjű törtek összehasonlítása redukálható az azonos nevezőjű törtek összehasonlítására. Ehhez csak az összehasonlított közönséges törteket kell közös nevezőre hozni.

Tehát két különböző nevezőjű tört összehasonlításához szüksége van

a törteket közös nevezőre csökkenteni;
Hasonlítsa össze a kapott törteket azonos nevezőkkel!

Nézzük a példa megoldását.

Példa.

Hasonlítsa össze az 5/12-es törtet a 9/16-os törttel.

Megoldás.

Először is hozzuk ezeket a különböző nevezőjű törteket közös nevezőre (lásd a törtek közös nevezőre hozásának szabályát és példáit). Közös nevezőnek a legkisebb közös nevezőt vesszük, amely egyenlő LCM(12, 16)=48-al. Ekkor az 5/12 tört járulékos tényezője a 48:12=4, a 9/16 tört járulékos tényezője pedig a 48:16=3 lesz. Kapunk És .

Az eredményül kapott törteket összehasonlítva azt kapjuk, hogy . Ezért az 5/12 tört kisebb, mint a 9/16. Ezzel befejeződik a különböző nevezőkkel rendelkező törtek összehasonlítása.

Válasz:

Nézzünk meg egy másik módszert a különböző nevezőkkel rendelkező törtek összehasonlítására, amely lehetővé teszi a törtek összehasonlítását anélkül, hogy közös nevezőre redukálná őket, és a folyamathoz kapcsolódó összes nehézséget.

Az a/b és c/d törtek összehasonlításához b·d közös nevezőre redukálhatók, amely megegyezik az összehasonlítandó törtek nevezőinek szorzatával. Ebben az esetben az a/b és c/d törtek további tényezői a d, illetve a b számok, és az eredeti törtek b·d közös nevezőjű törtekre redukálódnak. Emlékezve az azonos nevezőjű törtek összehasonlítására vonatkozó szabályra, arra a következtetésre jutottunk, hogy az eredeti a/b és c/d törtek összehasonlítása az a·d és c·b szorzatok összehasonlítására redukálódott.

Ez a következőket jelenti szabály a különböző nevezőjű törtek összehasonlítására: ha a·d>b·c , akkor , és ha a·d

Nézzük meg a különböző nevezőjű törtek összehasonlítását ilyen módon.

Példa.

Hasonlítsa össze az 5/18 és a 23/86 közönséges törteket!

Megoldás.

Ebben a példában a=5, b=18, c=23 és d=86. Számítsuk ki az a·d és b·c szorzatot. Van a·d=5·86=430 és b·c=18·23=414. Mivel 430>414, akkor az 5/18 tört nagyobb, mint a 23/86.

Válasz:

Azonos számlálókkal rendelkező törtek összehasonlítása

Az azonos számlálójú és különböző nevezőjű törtek minden bizonnyal összehasonlíthatók az előző bekezdésben tárgyalt szabályok segítségével. Az ilyen törtek összehasonlításának eredménye azonban könnyen megkapható e törtek nevezőinek összehasonlításával.

Van ilyen szabály az azonos számlálójú törtek összehasonlítására: két azonos számlálójú tört közül a kisebb nevezővel rendelkező tört nagyobb, a nagyobb nevezővel rendelkező tört pedig kisebb.

Nézzük a példamegoldást.

Példa.

Hasonlítsa össze az 54/19 és az 54/31 törteket.

Megoldás.

Mivel az összehasonlítandó törtek számlálói egyenlőek, és az 54/19 tört 19-es nevezője kisebb, mint az 54/31-es tört 31-es nevezője, akkor az 54/19 nagyobb, mint az 54/31.

Ez a cikk a törtek összehasonlításával foglalkozik. Itt megtudjuk, melyik tört nagyobb vagy kisebb, alkalmazzuk a szabályt, és példákat nézünk a megoldásokra. Hasonlítsuk össze a hasonló és eltérő nevezőkkel rendelkező törteket. Hasonlítsunk össze egy közönséges törtet egy természetes számmal.

Azonos nevezőjű törtek összehasonlítása

Az azonos nevezőjű törtek összehasonlításakor csak a számlálóval dolgozunk, ami azt jelenti, hogy a szám törtjeit hasonlítjuk össze. Ha van 3 7 tört, akkor 3 része 1 7, akkor a 8 7 törtnek 8 ilyen része van. Más szóval, ha a nevező azonos, akkor ezeknek a törteknek a számlálóit összehasonlítjuk, azaz a 3 7 és 8 7 a 3 és 8 számokkal.

Ez követi az azonos nevezőjű törtek összehasonlításának szabályát: az azonos kitevőjű meglévő törtek közül a nagyobb számlálójú törtet tekintjük nagyobbnak és fordítva.

Ez azt sugallja, hogy ügyeljen a számlálókra. Ehhez nézzünk egy példát.

1. példa

Hasonlítsa össze a megadott 65 126 és 87 126 törteket!

Megoldás

Mivel a törtek nevezői azonosak, áttérünk a számlálókra. A 87 és 65 számokból nyilvánvaló, hogy a 65 kevesebb. Az azonos nevezőjű törtek összehasonlítására vonatkozó szabály alapján azt kapjuk, hogy 87 126 nagyobb, mint 65 126.

Válasz: 87 126 > 65 126 .

Különböző nevezőjű törtek összehasonlítása

Az ilyen törtek összehasonlítása korrelálható az azonos kitevővel rendelkező törtek összehasonlításával, de van különbség. Most a törteket közös nevezőre kell csökkentenie.

Ha vannak különböző nevezőjű törtek, az összehasonlításhoz a következőket kell tennie:

megtalálni a közös nevezőt;
összehasonlítani a törteket.

Nézzük meg ezeket a műveleteket egy példa segítségével.

2. példa

Hasonlítsa össze az 5 12 és 9 16 törteket.

Megoldás

Mindenekelőtt a törteket közös nevezőre kell redukálni. Ez így történik: keresse meg az LCM-et, vagyis a legkisebb közös osztót, a 12-t és a 16-ot. Ez a szám 48. Az első 5 12 törthez további tényezőket kell hozzáadni, ez a szám a 48 hányadosból származik: 12 = 4, a második törtnél 9 16 – 48: 16 = 3. Írjuk fel az eredményt így: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 és 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48.

A törtek összehasonlítása után azt kapjuk, hogy 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

Válasz: 5 12 < 9 16 .

Van egy másik módszer a különböző nevezőkkel rendelkező törtek összehasonlítására. Közös nevezőre redukálás nélkül hajtják végre. Nézzünk egy példát. Az a b és c d törtek összehasonlításához közös nevezőre redukáljuk őket, majd b · d-re, vagyis ezeknek a nevezőknek a szorzatára. Ekkor a törtek további tényezői a szomszédos tört nevezői lesznek. Ezt a · d b · d és c · b d · b formában írjuk le. Az azonos nevezőkre vonatkozó szabályt használva azt kaptuk, hogy a törtek összehasonlítását az a · d és c · b szorzatok összehasonlítására redukáltuk. Innen kapjuk a szabályt a különböző nevezőjű törtek összehasonlítására: ha a · d > b · c, akkor a b > c d, de ha a · d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

3. példa

Hasonlítsa össze az 5 18 és 23 86 törteket.

Megoldás

Ebben a példában a = 5, b = 18, c = 23 és d = 86. Ezután ki kell számítani a·d és b·c. Ebből következik, hogy a · d = 5 · 86 = 430 és b · c = 18 · 23 = 414. De 430 > 414, akkor az adott 5 18 tört nagyobb, mint 23 86.

Válasz: 5 18 > 23 86 .

Azonos számlálókkal rendelkező törtek összehasonlítása

Ha a törtek azonos számlálókkal és különböző nevezőkkel rendelkeznek, akkor az összehasonlítást az előző pont szerint lehet elvégezni. Az összehasonlítás eredménye a nevezőik összehasonlításával lehetséges.

Van egy szabály az azonos számlálójú törtek összehasonlítására : Két azonos számlálójú tört közül a kisebb nevezővel rendelkező tört nagyobb és fordítva.

Nézzünk egy példát.

4. példa

Hasonlítsa össze az 54 19 és 54 31 törteket.

Megoldás

Azt kaptuk, hogy a számlálók azonosak, ami azt jelenti, hogy a 19-es nevezőjű tört nagyobb, mint a 31-es nevezőjű tört. Ez a szabály alapján érthető.

Válasz: 54 19 > 54 31 .

Ellenkező esetben nézhetünk egy példát. Van két tányér, amin 1 2 pite van, és még 1 16 anna. Ha megeszel 12 pitét, hamarabb jóllaksz, mint 116-tal. Ebből az a következtetés vonható le, hogy a törtek összehasonlításakor a legnagyobb nevező egyenlő számlálókkal a legkisebb.

Tört összehasonlítása természetes számmal

Egy közönséges tört természetes számmal való összehasonlítása ugyanaz, mint két tört összehasonlítása az 1-es alakban írt nevezőkkel. A részletes áttekintéshez az alábbiakban egy példa látható.

4. példa

Összehasonlítást kell végezni a 63 8 és 9 között.

Megoldás

A 9-et a 9 1 törtjeként kell ábrázolni. Ezután össze kell hasonlítanunk a 63 8 és 9 1 törteket. Ezt követi a közös nevezőre való redukálás további tényezők felkutatásával. Ezek után látjuk, hogy össze kell hasonlítanunk a 63 8 és 72 8 azonos nevezőjű törteket. Az összehasonlítási szabály alapján 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

Válasz: 63 8 < 9 .

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

BAN BEN Mindennapi élet Gyakran tört mennyiségeket kell összehasonlítanunk. Leggyakrabban ez nem okoz nehézséget. Valóban mindenki megérti, hogy egy fél alma nagyobb, mint a negyed. De ha matematikai kifejezésként kell leírni, zavaró lehet. A következő matematikai szabályok alkalmazásával könnyen megoldhatja ezt a problémát.

Hogyan hasonlítsuk össze az azonos nevezővel rendelkező törteket

Az ilyen frakciókat a legkényelmesebb összehasonlítani. Ebben az esetben használja a szabályt:

Két azonos nevezővel, de eltérő számlálóval rendelkező tört közül a nagyobb az, amelynek a számlálója nagyobb, és a kisebb az, amelynek a számlálója kisebb.

Hasonlítsa össze például a 3/8 és az 5/8 törteket. Ebben a példában a nevezők egyenlőek, ezért ezt a szabályt alkalmazzuk. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

Valóban, ha két pizzát 8 szeletre vágunk, akkor a szelet 3/8-a mindig kevesebb, mint 5/8.

Törtek összehasonlítása hasonló számlálókkal és eltérő nevezőkkel

Ebben az esetben a nevezői részesedések méretei összehasonlításra kerülnek. Az alkalmazandó szabály a következő:

Ha két törtnek egyenlő a számlálója, akkor az a tört, amelynek a nevezője kisebb, nagyobb.

Például hasonlítsa össze a 3/4 és 3/8 törteket. Ebben a példában a számlálók egyenlőek, ami azt jelenti, hogy a második szabályt használjuk. A 3/4-es tört kisebb nevezővel rendelkezik, mint a 3/8-as tört. Ezért 3/4>3/8

Valóban, ha megeszel 3 szelet pizzát 4 részre osztva, akkor jóllakottabb leszel, mintha 3 szelet pizzát ennél meg 8 részre osztva.

Különböző számlálókkal és nevezőkkel rendelkező törtek összehasonlítása

Alkalmazzuk a harmadik szabályt:

A különböző nevezőjű törtek összehasonlítása az azonos nevezőjű törtek összehasonlításához kell, hogy vezessen. Ehhez a törteket közös nevezőre kell csökkenteni, és az első szabályt kell használni.

Például össze kell hasonlítania a törteket és a . A nagyobb tört meghatározásához ezt a két törtet közös nevezőre redukáljuk:

Most keressük meg a második járulékos tényezőt: 6:3=2. A második tört fölé írjuk:

Ebben a leckében megtanuljuk, hogyan hasonlítsuk össze a törteket egymással. Ez egy nagyon hasznos készség, amely bonyolultabb problémák egész osztályának megoldásához szükséges.

Először is hadd emlékeztesselek a törtek egyenlőségének meghatározására:

Az a /b és c /d törteket egyenlőnek mondjuk, ha ad = bc.

5/8 = 15/24, mivel 5 24 = 8 15 = 120;
3/2 = 27/18, mivel 3 18 = 2 27 = 54.

Minden más esetben a törtek egyenlőtlenek, és az alábbi állítások egyike igaz rájuk:

Az a/b frakció nagyobb, mint a c/d frakció;
Az a /b tört kisebb, mint a c /d tört.

Az a /b tört nagyobbnak mondható, mint a c /d tört, ha a /b − c /d > 0.

Egy x /y tört kisebbnek mondható, mint egy s /t tört, ha x /y − s /t< 0.

Kijelölés:

Így a törtek összehasonlítása a kivonásukhoz vezet. Kérdés: hogyan ne keveredjen össze a „több mint” (>) és „kevesebb, mint” jelölésekkel (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

A pólya kiszélesedő része mindig a nagyobb szám felé mutat;
Az üstök éles orra mindig alacsonyabb számra mutat.

Azokban a feladatokban, ahol össze kell hasonlítani a számokat, gyakran egy „∨” jel kerül közéjük. Ez egy lehajtott orrú hajnal, ami arra utal, hogy a számok közül a nagyobbat még nem határozták meg.

Feladat. Hasonlítsa össze a számokat:

A definíciót követve vonja ki a törteket egymástól:

Minden összehasonlításnál a törteket közös nevezőre kellett redukálnunk. Pontosabban a keresztezés módszerével és a legkisebb közös többszörös megtalálásával. Szándékosan nem összpontosítottam ezekre a pontokra, de ha valami nem világos, vessen egy pillantást a „Törtek összeadása és kivonása” című leckére - ez nagyon egyszerű.

A tizedesjegyek összehasonlítása

A tizedes törtek esetében minden sokkal egyszerűbb. Itt nem kell semmit kivonni - csak hasonlítsa össze a számjegyeket. Érdemes megjegyezni, hogy mi a szám jelentős része. Azok számára, akik elfelejtették, javaslom, hogy ismételjék meg a „Tizedesjegyek szorzása és osztása” című leckét - ez is csak néhány percet vesz igénybe.

A pozitív tizedes X nagyobb, mint a pozitív tizedes Y, ha olyan tizedesjegyet tartalmaz, hogy:

Az X törtben ezen a helyen lévő számjegy nagyobb, mint az Y tört megfelelő számjegye;

Az X és Y törteknél minden ennél magasabb számjegy megegyezik.

12,25 > 12,16. Az első két számjegy azonos (12 = 12), a harmadik pedig nagyobb (2 > 1);
0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Vagyis egyenként végigmegyünk a tizedesjegyeken, és keressük a különbséget. Ebben az esetben nagyobb szám nagyobb törtnek felel meg.

Ez a meghatározás azonban pontosítást igényel. Például hogyan írjunk és hasonlítsunk össze tizedesjegyeket? Ne feledje: bármely decimális formában írt számhoz tetszőleges számú nulla kerülhet a bal oldalra. Íme még néhány példa:

0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2300,5 > 0,0025, mert 0,0025 = 0000,0025 - három nullát adtunk a bal oldalra. Most láthatja, hogy a különbség az első számjegytől kezdődik: 2 > 0.

Természetesen a megadott nullás példákban nyilvánvaló túlzás volt, de a lényeg pontosan ez: töltse ki a bal oldalon lévő hiányzó biteket, majd hasonlítsa össze.

Feladat. Hasonlítsa össze a törteket:

0,029 ∨ 0,007;

14,045 ∨ 15,5;

0,00003 ∨ 0,0000099;

1700,1 ∨ 0,99501.

Értelemszerűen a következőkkel rendelkezünk:

0,029 > 0,007. Az első két számjegy egybeesik (00 = 00), ezután kezdődik a különbség (2 > 0);
14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
0,00003 > 0,0000099. Itt gondosan meg kell számolni a nullákat. Az első 5 számjegy mindkét törtben nulla, de az első törtben 3, a másodikban pedig 0. Nyilvánvalóan 3 > 0;
1700,1 > 0,99501. Írjuk át a második törtet 0000.99501-re, és adjunk hozzá 3 nullát balra. Most már minden nyilvánvaló: 1 > 0 - a különbség az első számjegyben érzékelhető.

Sajnos a fenti tizedestörtek összehasonlítási séma nem univerzális. Ez a módszer csak összehasonlítható pozitív számok. Általános esetben a működési algoritmus a következő:

A pozitív tört mindig nagyobb, mint a negatív tört;
Két pozitív törtet hasonlítunk össze a fenti algoritmus segítségével;
Két negatív törtet ugyanúgy hasonlítunk össze, de a végén az egyenlőtlenség előjelét megfordítjuk.

Nos, nem rossz? Most nézzünk konkrét példákat - és minden világossá válik.

Feladat. Hasonlítsa össze a törteket:

0,0027 ∨ 0,0072;

−0,192 ∨ −0,39;

0,15 ∨ −11,3;

19,032 ∨ 0,0919295;

−750 ∨ −1,45.

0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
−0,192 > −0,39. A törtek negatívak, a 2. számjegy más. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
0,15 > −11,3. Egy pozitív szám mindig nagyobb, mint egy negatív szám;
19,032 > 0,091. Elég a második törtet átírni 00.091 alakba, hogy lássuk, a különbség már az 1. számjegyben keletkezik;
−750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. A különbség az első kategóriában van.

A törteket általában összehasonlítják, hogy megtudják, melyik a nagyobb és melyik a kisebb. A törtek összehasonlításához le kell redukálni őket ugyanarra a nevezőre, ekkor a nagyobb számlálójú tört nagyobb, a kisebb számlálójú pedig kisebb. A legnehezebb kitalálni, hogyan lehet a törteket azonos nevezőkkel ellátni, de ez nem olyan nehéz, mint amilyennek látszik. Elmondjuk, hogyan kell mindezt megtenni. Olvass tovább!

Lépések

Nézze meg, hogy a törteknek ugyanaz a nevezője, vagy sem. A nevező a törtvonal alatti szám, alul, a számláló pedig felül. Például az 5/7 és a 9/13 törtnek nem ugyanaz a nevezője. Ugyanarra a nevezőre kell hozni őket.
- Ha a törtek nevezője megegyezik, akkor csak össze kell hasonlítania a számlálókat, hogy megtudja, melyik tört nagyobb.
Keresse meg a közös nevezőt. A törtek összehasonlításához először meg kell találni a közös nevezőt. Ez szükséges az összehasonlításhoz, valamint a törtekkel végzett matematikai műveletek elvégzéséhez, összeadáshoz, kivonáshoz stb. Összeadáskor vagy kivonáskor meg kell keresni a legkisebb közös nevezőt. Ebben az esetben azonban (törtek összehasonlítása esetén) csak mindkét tört nevezőjét lehet szorozni, és a kapott szám lesz a közös nevező. Ne feledje, hogy ez a közös nevező keresési módszere CSAK törtek összehasonlításakor működik (nem összeadás, kivonás stb.)
- 7 x 13 = 91, az új közös nevező 91 lesz.
Módosítsa a törtek számlálóit. Miután megtalálta a közös nevezőt, ebben az esetben a 91-et, meg kell változtatnia a számlálókat, hogy a tört értéke változatlan maradjon. Ehhez meg kell szorozni az egyik tört számlálóit a második nevezőjével, a második számlálóját pedig az első nevezőjével. Mint ez:
- Az 5/7 kezdeti törtben 7-et megszoroztunk 13-mal, és 91-et kaptunk, most pedig 5-öt kell megszoroznunk 13-mal, hogy új számlálót kapjunk. 5/7 x 13/13 = 65/91.
- A 9/13 törtben 13-at megszoroztunk 7-tel, hogy új nevezőt kapjunk 91-et, most pedig 9-et szorozunk 7-tel, hogy új számlálót kapjunk. 9 x 7 = 63, tehát az új törtünk 63/91-nek tűnik.